二維彈性碰撞詳解
在一個孤立系統中，兩個物體進行二維彈性碰撞時，系統的總動量和總動能均守恆。
1. 動量守恆 (Conservation of Momentum)
動量是一個向量。系統的總向量動量在碰撞前後保持不變。
$$ \vec{p}_{i} = \vec{p}_{f} $$
$$ m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1}' + m_2\vec{v_2}' $$
我們可以將這個向量方程式分解為 x 方向和 y 方向兩個純量方程式：
- X-方向: $$ m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = m_1v_{1x}' + m_2v_{2x}' $$
- Y-方向: $$ m_1v_{1y} + m_2v_{2y} = m_1v_{1y}' + m_2v_{2y}' $$
2. 動能守恆 (Conservation of Kinetic Energy)
由於是彈性碰撞，系統的總動能在碰撞前後也保持不變。動能是一個純量。
$$ K_{i} = K_{f} $$
$$ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 $$
其中 $ v^2 = v_x^2 + v_y^2 $。
3. 碰撞分析：連心線座標系
直接解上述三個聯立方程式（一個動能，兩個動量）非常複雜。一個更簡潔的方法是將速度向量分解到「連心線」和「切線」方向。
- 定義座標：
- 連心線 (Normal Axis, $\hat{n}$): 在碰撞瞬間，連接兩物體球心的直線。碰撞的作用力（衝量）沿著這個方向傳遞。
$$ \hat{n} = \frac{\vec{r_2} - \vec{r_1}}{|\vec{r_2} - \vec{r_1}|} $$
- 切線 (Tangent Axis, $\hat{t}$): 與連心線垂直的直線。
- 速度分解： 將每個物體的初始速度 $\vec{v}$ 分解為沿 $\hat{n}$ 和 $\hat{t}$ 的分量：
$$ \vec{v} = v_n\hat{n} + v_t\hat{t} $$
- $ v_n = \vec{v} \cdot \hat{n} $ (沿連心線的分量)
- $ v_t = \vec{v} \cdot \hat{t} $ (沿切線的分量)
- 計算碰撞：
- 沿切線方向 ( $\hat{t}$ )，沒有作用力，因此動量分量各自守恆：
$$ v_{1t}' = v_{1t} \quad \text{且} \quad v_{2t}' = v_{2t} $$
- 沿連心線方向 ( $\hat{n}$ )，碰撞行為等同於「一維彈性碰撞」：
$$ v_{1n}' = \frac{(m_1 - m_2)v_{1n} + 2m_2v_{2n}}{m_1 + m_2} $$
$$ v_{2n}' = \frac{(m_2 - m_1)v_{2n} + 2m_1v_{1n}}{m_1 + m_2} $$
- 合成末速： 將計算出的 $v_n'$ 和 $v_t'$ 重新組合回 $\vec{v}'$：
$$ \vec{v_1}' = v_{1n}'\hat{n} + v_{1t}'\hat{t} $$
$$ \vec{v_2}' = v_{2n}'\hat{n} + v_{2t}'\hat{t} $$
這個模擬器就是使用這種方法來計算二維碰撞後的末速度向量。