斜向拋射物理模擬器

調整參數以觀察理想狀態與空氣阻力下的拋射運動差異

參數設定

即時數據

理想情況 (無阻力)

飛行時間
0.00 s
最大高度
0.00 m
水平射程
0.00 m
格線間距: 50m

水平速度 \(v_x\) vs 時間 \(t\)

垂直速度 \(v_y\) vs 時間 \(t\)

理想情況運動學 (Kinematics)

1. 位置函數

水平位置： \[ x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos\theta) t \]

垂直位置： \[ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2 \]

2. 速度函數

水平速度： \[ v_x(t) = v_{0x} = \text{const} \]

垂直速度： \[ v_y(t) = v_{0y} - gt \]

水平射程推導 (Range Equation)

  1. 分解初速度：
    \[ v_{0x} = v_0 \cos\theta, \quad v_{0y} = v_0 \sin\theta \]
  2. 計算飛行時間 \(T\)：
    設落地時 \( y(T) = 0 \) (假設 \(y_0=0\))： \[ 0 = (v_0 \sin\theta)T - \frac{1}{2}gT^2 \] \[ T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} \]
  3. 計算水平射程 \(R\)：
    \[ R = v_{0x} \times T = (v_0 \cos\theta) \times \left( \frac{2v_0 \sin\theta}{g} \right) \]
  4. 利用三角恆等式簡化：
    使用倍角公式 \( 2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta) \)，得到：
    \[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]

物理意義： 當 \(\sin(2\theta)\) 最大時 (即 \(2\theta=90^\circ, \theta=45^\circ\))，射程 \(R\) 最大。