(a) 壓力梯度與密度的關係
目標：求解題目中關係式 \( \frac{\Delta P(x)}{\Delta x} = \beta \cdot \rho(x) \) 的比例常數 \( \beta \)。
物理模型：我們考慮在一個與管子同步旋轉的非慣性參考系中，一小段氣體元素所受的力達到平衡。
- 選取氣體元素：在距離旋轉軸心 \(x\) 的位置，取一小段長度為 \(dx\)，截面積為 \(A\) 的氣體。
- 體積：\(dV = A \cdot dx\)
- 質量：\(dm = \rho(x) \cdot dV = \rho(x) A \, dx\)，其中 \(\rho(x)\) 是在位置 \(x\) 的氣體密度。
- 受力分析：此氣體元素受到兩個主要的力：
- 離心力 (\(dF_{\text{centrifugal}}\)): 由於系統以角速度 \(\omega\) 旋轉，氣體元素受到一個向外的離心力。
$$dF_{\text{centrifugal}} = (dm) \cdot a_c = (\rho(x) A \, dx) \cdot (\omega^2 x)$$
- 壓力差產生的力 (\(dF_{\text{pressure}}\)): 氣體元素左右兩端壓力不同而產生一個淨力。淨力為 \(dF_{\text{pressure}} = [P(x) - P(x+dx)]A = -dP \cdot A\)。
- 力平衡方程式：在旋轉參考系中，合力為零。
$$dF_{\text{centrifugal}} + dF_{\text{pressure}} = 0 \implies (\rho(x) A \, dx) \omega^2 x - dP \cdot A = 0$$
整理可得壓力梯度：
$$\frac{dP(x)}{dx} = \rho(x) \omega^2 x$$
- 求解 \(\beta\)：將推導結果與題目關係式 \(\frac{dP(x)}{dx} = \beta \cdot \rho(x)\) 比較，可得：
$$\beta = \omega^2 x$$
(b) 氣體密度分佈函數
目標：求解密度分佈函數 \(\rho(x) = \rho_0 e^{\gamma x^2}\) 中的指數常數 \(\gamma\)。
物理模型：結合力學平衡結果與理想氣體狀態方程式，並利用題目給定「一莫耳」氣體的條件。
- 理想氣體狀態方程式：對於一莫耳 (\(n=1\)) 的理想氣體，\(PV=RT\)。壓力與密度的關係為：
$$P(x) = \frac{\rho(x) RT}{M}$$
其中 \(M\) 為氣體的總質量（在一莫耳的情況下，也等於莫耳質量）。
- 建立微分方程：將上述壓力表達式對 \(x\) 微分，並與 (a) 的結果聯立：
$$\frac{dP}{dx} = \frac{RT}{M} \frac{d\rho}{dx} = \rho(x) \omega^2 x$$
- 求解微分方程（分離變數法）：
$$\frac{1}{\rho(x)} d\rho = \frac{M \omega^2}{RT} x \, dx$$
對上式兩邊進行定積分，從旋轉中心 (\(x=0\)，密度為 \(\rho_0\)) 積到任意位置 \(x\)：
$$\int_{\rho_0}^{\rho(x)} \frac{1}{\rho'} d\rho' = \int_{0}^{x} \frac{M \omega^2}{RT} x' \, dx'$$
$$\ln\left(\frac{\rho(x)}{\rho_0}\right) = \frac{M \omega^2}{2RT} x^2$$
- 求解 \(\gamma\)：對上式取自然指數 \(e\)，得到密度分佈函數：
$$\rho(x) = \rho_0 \exp\left( \frac{M \omega^2}{2RT} x^2 \right)$$
將此結果與題目給定的形式 \(\rho(x) = \rho_0 e^{\gamma x^2}\) 比較，可得：
$$\gamma = \frac{M \omega^2}{2RT}$$