行星視逆行模擬

原理與數學詳解

這是一個關於行星視運動（特別是逆行）的經典物理問題。我們將使用向量、三角函數以及克卜勒行星運動第三定律來求解。

基本設定

1. 地球與水星的軌道皆為以太陽為中心的圓形，且在同一個平面上。
2. 令地球軌道半徑為 \(R_E\)，水星軌道半徑為 \(R_M\)。根據題意，其比值為 \(\alpha_0 = R_M / R_E \approx 0.39\)。
3. 地球繞行太陽的角頻率為 \(\omega_E = \omega\)。
4. 在 \(t=0\) 時，太陽、水星、地球成一直線，且水星在太陽與地球之間（此為「下合」，inferior conjunction）。
5. 我們設定一個以太陽為原點 (0, 0) 的直角坐標系。在 \(t=0\) 時，地球位於 x 軸正向上。

(a) 求 \(\tan(\phi(t))\)

步驟一：決定水星的角頻率 \(\omega_M\)

根據克卜勒第三定律，對於繞行同一中心天體的不同行星，其軌道週期的平方與軌道半徑的立方成正比 (\(T^2 \propto R^3\))。角頻率 \(\omega = 2\pi/T\)，可推導出 \(\omega \propto R^{-3/2}\)。

因此，地球與水星角頻率的關係式為：

$$ \frac{\omega_M}{\omega_E} = \left(\frac{R_M}{R_E}\right)^{-3/2} = (\alpha_0)^{-3/2} $$

因為 \(\omega_E = \omega\)，所以水星的角頻率為：

$$ \omega_M = \omega \alpha_0^{-3/2} $$

步驟二：寫出地球與水星隨時間變化的位置向量

在時間 \(t\)，地球與水星的角位置分別為 \(\theta_E(t) = \omega t\) 和 \(\theta_M(t) = \omega_M t\)。

• 地球的位置向量 \(\vec{r}_E(t)\)：$$ \vec{r}_E(t) = (R_E \cos(\omega t), R_E \sin(\omega t)) $$
• 水星的位置向量 \(\vec{r}_M(t)\)：$$ \vec{r}_M(t) = (R_M \cos(\omega_M t), R_M \sin(\omega_M t)) $$

步驟三：計算水星相對於地球的位置向量 \(\vec{r}_{ME}(t)\)

此向量是從地球指向水星的向量，等於水星的位置向量減去地球的位置向量。

$$ \vec{r}_{ME}(t) = \vec{r}_M(t) - \vec{r}_E(t) $$ $$ \vec{r}_{ME}(t) = R_E ( (\alpha_0 \cos(\omega_M t) - \cos(\omega t)), (\alpha_0 \sin(\omega_M t) - \sin(\omega t)) ) $$

步驟四：計算 \(\tan(\phi(t))\)

\(\phi(t)\) 是向量 \(\vec{r}_{ME}(t)\) 與 x 軸正向的夾角。因此，\(\tan(\phi(t))\) 等於其 y 分量除以 x 分量。

$$ \tan(\phi(t)) = \frac{y_{ME}}{x_{ME}} = \frac{\alpha_0 \sin(\omega_M t) - \sin(\omega t)}{\alpha_0 \cos(\omega_M t) - \cos(\omega t)} $$

(b) 已知 \(\alpha_0 \approx 0.39\)，求逆行發生的時間區間

步驟一：建立水星逆行的數學條件

水星逆行發生在 \(\phi(t)\) 隨時間 \(t\) 遞減的期間，即其時間變率（角速度）為負：\(\frac{d\phi}{dt} < 0\)。這等價於 \(\frac{d}{dt}\tan(\phi(t)) < 0\)。對上式進行微分，並要求分子小於 0，可得：

$$ \alpha_0^2 \omega_M + \omega - \alpha_0(\omega_M + \omega)\cos((\omega_M - \omega)t) < 0 $$

整理後得到逆行條件：

$$ \cos((\omega_M - \omega)t) > \frac{\alpha_0^2 \omega_M + \omega}{\alpha_0(\omega_M + \omega)} $$

步驟二：化簡不等式

將 \(\omega_M = \omega \alpha_0^{-3/2}\) 代入並化簡，可得：

$$ \cos((\omega_M - \omega)t) > \frac{\sqrt{\alpha_0}}{1-\sqrt{\alpha_0}+\alpha_0} $$

步驟三：求解臨界時間 \(t_0\)

逆行發生在區間 \([-t_0, t_0]\)，在 \(t = \pm t_0\) 時為逆行與順行交界的臨界點，此時不等式取等號：

$$ \cos((\omega_M - \omega)t_0) = \frac{\sqrt{\alpha_0}}{1-\sqrt{\alpha_0}+\alpha_0} $$

解出 \(t_0\)：

$$ t_0 = \frac{1}{\omega_M - \omega} \arccos\left(\frac{\sqrt{\alpha_0}}{1-\sqrt{\alpha_0}+\alpha_0}\right) $$

代入 \(\alpha_0 = 0.39\) 進行數值計算，可得逆行從 \(t=-t_0\) 開始，到 \(t=+t_0\) 結束。動畫中的狀態顯示便是基於此條件判斷的。