耦合振盪系統動畫與詳解

完整理論推導詳解

1. 物理模型與初始狀態

此系統包含三個木塊、一條繩子、一個滑輪和一個彈簧。我們的目標是找出系統被釋放後，彈簧振動的角頻率 ($\omega$)。

• 系統組成: 木塊 A (質量 $2m$), 木塊 B (質量 $m$), 木塊 C (質量 $m$), 彈簧 (彈力常數 $k$)
• 初始平衡: 系統初始靜力平衡，左邊總質量 $2m$ 等於右邊總質量 $m+m=2m$。此時，對木塊 C 而言，所受重力 $mg$ 與彈簧拉力 $F_{s,eq}$ 平衡。因此，彈簧的平衡伸長量為 $x_{eq} = \frac{mg}{k}$。

2. 設定座標與約束條件

我們以各物體在初始平衡位置為原點 ($y=0$)，並定義向下為正方向。

• $y_A, y_B, y_C$ 分別為木塊 A, B, C 相對於其平衡位置的瞬時位移。
• $a_A, a_B, a_C$ 分別為它們的瞬時加速度。
• 由於繩子不可伸長，A 的位移與 B 的位移大小相等，方向相反：$y_A = -y_B$。對時間做兩次微分可得：$a_A = -a_B$。

3. 各物體之運動方程式 (牛頓第二定律)

我們分析各物體在運動過程中的受力情況，並寫下 $F_{net}=ma$：

木塊 A (質量 2m):

$$ 2mg - T = 2m \cdot a_A = -2m \cdot a_B \quad \Rightarrow \quad T = 2mg + 2m \cdot a_B \quad \cdots(1) $$

木塊 C (質量 m):

$$ F_s = k(x_{eq} + y_C - y_B) = mg + k(y_C - y_B) $$ $$ mg - F_s = m \cdot a_C \quad \Rightarrow \quad -k(y_C - y_B) = m \cdot a_C \quad \cdots(2) $$

木塊 B (質量 m):

$$ mg + F_s - T = m \cdot a_B \quad \Rightarrow \quad 2mg + k(y_C - y_B) - T = m \cdot a_B \quad \cdots(3) $$

4. 求解相對運動方程式

定義相對座標 $z = y_C - y_B$，代表彈簧的額外伸長量。將 (1) 代入 (3) 可得：

$$ k(y_C - y_B) = 3m \cdot a_B \quad \Rightarrow \quad a_B = \frac{k}{3m}z $$

從 (2) 可得 $a_C = -\frac{k}{m}z$。計算相對加速度 $z'' = a_C - a_B$：

$$ z'' = \left(-\frac{k}{m}z\right) - \left(\frac{k}{3m}z\right) = -\left(\frac{4k}{3m}\right)z $$

5. 結論

此為標準簡諧運動方程式 $x'' = -\omega^2 x$。比較可得角頻率的平方為：

$$ \omega^2 = \frac{4k}{3m} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{4k}{3m}} $$