磁場中的圓周運動：
當帶電粒子（電荷 $q$，質量 $m$）以速度 $v$ 垂直進入均勻磁場 $B$ 時，它會受到勞侖茲力（Lorentz Force） $F_B$ 的作用：
$$ F_B = qvB $$
這個力永遠垂直於粒子的運動方向，因此它不對粒子作功（不改變速率），而是作為向心力 $F_c$，迫使粒子進行圓周運動：
$$ F_c = \frac{mv^2}{r} $$
將兩式相等：$qvB = \frac{mv^2}{r}$，我們可以解出迴旋半徑 $r$：
$$ r = \frac{mv}{qB} $$
這表示粒子的速度越快，迴旋半徑越大。
恆定的迴旋頻率：
粒子繞行一周所需的時間（週期 $T$）為 $T = \frac{2\pi r}{v}$。將上述的 $r$ 代入：
$$ T = \frac{2\pi}{v} \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{2\pi m}{qB} $$
因此，迴旋頻率 $f$（週期的倒數）為：
$$ f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m} $$
這個公式是迴旋加速器的關鍵！在非相對論速度下（即速度遠小於光速），粒子的迴旋頻率 $f$ 僅取決於其荷質比 $\frac{q}{m}$ 和磁場強度 $B$，而與其能量或迴旋半徑 $r$ 無關。
電場加速：
儀器中有兩個中空的 "D" 形金屬盒（Dees），兩盒之間有狹窄的間隙。在這間隙中施加一個交流電場，其電壓的振盪頻率 $f_E$ 被精確地設置為與粒子的迴旋頻率 $f$ 相同（$f_E = f$）。
如此一來，每當粒子（例如正粒子）從左D盒漂移到右D盒時，右D盒的電位恰好為負，電場便對其作正功，使其加速。當粒子在右D盒中繞行半圈後再次回到間隙時，電場方向剛好反轉，左D盒電位變為負，粒子再次被加速。
粒子每繞行半圈，能量就會增加 $\Delta K = qV_0$（$V_0$ 為電壓峰值）。由於能量增加（$v$ 增加），其軌道半徑 $r$ 也隨之增加，形成一個向外擴展的螺旋軌跡。
最終，當粒子的軌道半徑達到D形盒的最大半徑 $R$ 時，其動能 $K_{max}$ 達到最大：
$$ K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{qBR}{m} \right)^2 = \frac{q^2B^2R^2}{2m} $$
此時，高能粒子束被引出D形盒，用於撞擊靶材或進行其他實驗。
科學史
迴旋加速器是由美國物理學家恩尼斯特·勞倫斯 (Ernest O. Lawrence) 在1929年構思，並於1930年至1931年間與他的學生 M. Stanley Livingston 在加州大學柏克萊分校 (UC Berkeley) 成功建造了第一台原型機。
當時，物理學家迫切需要更高能量的粒子來「敲開」原子核，以研究其內部結構。勞倫斯的靈感來自於一篇描述如何通過「共振」方式重複施加小電壓來加速粒子的論文。他意識到，在磁場中，粒子的迴旋頻率是恆定的，這意味著可以用一個固定頻率的交流電場來「同步」加速粒子。
第一台迴旋加速器直徑僅有幾英寸，但它成功地將質子加速到前所未有的高能量。這項發明徹底改變了實驗核物理學，使得製造人造放射性同位素和發現新粒子（如 $\pi$ 介子）成為可能。勞倫斯因此獲得了1939年的諾貝爾物理學獎。
相關應用
迴旋加速器不僅是基礎物理研究的工具，至今仍在醫學和工業領域有著廣泛且重要的應用：
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核醫學與同位素生產： 這是迴旋加速器最主要的現代應用之一。醫院中的小型迴旋加速器被用來生產短半衰期的放射性同位素，例如用於「正電子發射斷層掃描」(PET) 的氟-18 (Fluorine-18)。
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癌症治療（強子治療）： 利用迴旋加速器產生的質子束或碳離子束來進行放射治療。這種療法的優勢在於粒子束可以將大部分能量精確地釋放在腫瘤深度（稱為布拉格尖峰，Bragg Peak），從而最大限度地減少對周圍健康組織的傷害。
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基礎物理研究： 雖然最高能量的粒子物理實驗現在由同步加速器（Synchrotron，迴旋加速器的後代）主導，但迴旋加速器仍在許多中低能量的核物理和粒子物理實驗中扮演重要角色。
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材料科學： 利用高能粒子束轟擊材料，以研究輻射損傷效應或進行離子佈植 (Ion Implantation) 來改變材料的表面特性。