1. 系統描述與拉格朗日量
考慮兩個質量為 \(m\)、擺長為 \(L\) 的單擺，中間透過一條弱彈簧（或如本模擬中的水平繩張力）相互耦合。
設 \(\theta_1\) 與 \(\theta_2\) 分別為兩單擺偏離垂直線的角度。對於小角度擺動 (\(\sin\theta \approx \theta\))，耦合力可以視為與角度差 \((\theta_1 - \theta_2)\) 成正比。
運動方程式為：
$$ m L^2 \ddot{\theta}_1 = -mgL \theta_1 + \kappa (\theta_2 - \theta_1) $$
$$ m L^2 \ddot{\theta}_2 = -mgL \theta_2 - \kappa (\theta_2 - \theta_1) $$
其中 \(\kappa\) 為耦合常數，\(g\) 為重力加速度。
2. 簡振模 (Normal Modes)
我們可以將這兩個耦合的方程式解耦，找出系統的自然振動模式。透過變數變換：
- 令 \(Q_1 = \theta_1 + \theta_2\) （對稱坐標）
- 令 \(Q_2 = \theta_1 - \theta_2\) （反對稱坐標）
將上述運動方程式相加與相減，可得兩個獨立的簡諧運動方程式：
$$ \ddot{Q}_1 + \frac{g}{L} Q_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}} $$
$$ \ddot{Q}_2 + \left(\frac{g}{L} + \frac{2\kappa}{mL^2}\right) Q_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{2\kappa}{mL^2}} $$
這解釋了模擬中的現象：
● 對稱模 (\(\omega_1\))：兩擺同向擺動，耦合力不作用，頻率較慢。
● 反對稱模 (\(\omega_2\))：兩擺反向擺動，耦合力提供額外回復力，頻率較快。
3. 拍頻與能量傳遞 (Beats)
當我們只給單擺 A 一個初始位移 \(\theta_1(0) = A_0, \theta_2(0) = 0\)，系統的運動是兩個簡振模的疊加：
$$ \theta_1(t) = A_0 \cos\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\right) \cos\left(\frac{\omega_2 + \omega_1}{2}t\right) $$
$$ \theta_2(t) = A_0 \sin\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\right) \sin\left(\frac{\omega_2 + \omega_1}{2}t\right) $$
這裡可以看到兩個頻率：
1. 載波頻率 (Carrier) \(\frac{\omega_2 + \omega_1}{2}\)：這是單擺快速擺動的頻率。
2. 包絡頻率 (Envelope) \(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}\)：這是振幅忽大忽小的頻率，也就是我們觀察到的能量交換週期。