雙星系統引力振盪模擬

情況一：\(x \gg d\) (遠距離)

當質點 C 的初始位置 \(x\) 遠大於兩個固定質點的間距 \(d\) 時，從 C 的視角看，兩個質量 \(M\) 幾乎重疊在原點。

因此，系統的行為近似於一個質量為 \(2M\) 的單一質點在原點吸引質量 m。其加速度近似為：

$$ a \approx - \frac{2GM}{x^2} $$

這是一個平方反比關係，類似於單星系統的重力。物體會被拉向原點，但不會進行簡諧運動。

情況二：\(x \ll d\) (近距離)

當質點 C 的位置 \(x\) 遠小於 \(d\) 時，我們可以對加速度公式進行近似。此時，質點 C 的運動近似為簡諧運動 (S.H.M.)。

加速度與位移 \(x\) 成正比，方向相反，可表示為 \(a \approx -kx\)。加速度公式簡化為：

$$ a \approx - \left( \frac{2GM}{d^3} \right) x $$

此運動的週期為：

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi d \sqrt{\frac{2d}{GM}} $$

情況三：一般解

在一般情況下，沒有簡單的近似。質點 C 所受的淨力使其產生朝向原點的加速度，其精確值為：

$$ a = - \frac{2GMx}{(x^2 + d^2)^{3/2}} $$

這個運動是週期性的振盪，但不是嚴格的簡諧運動（除非 \(x\) 非常小）。其運動週期和振幅都與初始釋放位置 \(x_0\) 有關。本模擬正是使用此完整公式進行數值計算。