3D 離心調速器模擬 (視覺優化版)

1. 臨界角速度 ($ \omega_{crit} $)

當擺錘穩定旋轉時，受重力 $mg$ 與張力 $T$ 作用。水平方向提供向心力： $$ T \sin\theta = m \omega^2 r = m \omega^2 (L \sin\theta) $$ 垂直方向力平衡： $$ T \cos\theta = mg $$ 兩式相除消去 $T$ 與 $m$： $$ \tan\theta = \frac{\omega^2 L \sin\theta}{g} $$ 若 $\sin\theta \neq 0$，整理得角速度與角度的關係： $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{L \cos\theta}} $$

本模擬設定：當 $\theta = 45^\circ$ 時，擺錘觸碰半徑 $R_{wall} = 0.4$m 的外殼。 反推連桿長 $L = 0.4 / \sin(45^\circ) \approx 0.566$m。 代入計算臨界轉速： $$ \omega_{crit} = \sqrt{\frac{10}{0.566 \times \cos(45^\circ)}} = \sqrt{25} = 5 \text{ rad/s} $$

2. 外殼互動機制

這是一個非保守系統的簡單模擬。當 $\omega > 5$ rad/s 時，擺錘張角受限於 $45^\circ$ 並壓迫外殼。 我們模擬一個切線摩擦力矩，使外殼加速旋轉： $$ \alpha_{shell} \propto (\omega_{axis} - \omega_{shell}) \times \mu_k $$ 當轉速降低使擺錘脫離外殼時，外殼則僅受空氣阻力而緩慢減速。